OSA_1_Stochastický-proces_2

up:: ZK > ai nav:: --- / ⇒

1. Stochastický proces

Vysvětlete pojem Stochastický proces

(pouze definice nestačí, cíl je pochopit a vysvětlit)

.

Image

2

3

---

• Podstata: Model vývoje systémů v čase, kde hraje zásadní roli náhoda. Nejde o jedno statické náhodné číslo, ale o celý náhodný vývoj (film namísto jedné fotky).
• Matematický pohled: $X(t)=f(t,e)$, kde $t$ je čas (deterministická složka, kterou řídíme) a $e$ je nejistota/náhoda (stochastická složka, kterou neovlivníme).
• Klíčové koncepty:
  • Realizace: Konkrétní „příběh“ neboli historický průběh, který se už stal. Zpětně už je to čistě nenáhodná, pevná funkce.
  • Průsek: Pohled na proces v jeden konkrétní časový okamžik $t$. Chová se jako klasická náhodná veličina („zmrazení“ času).
• Klasifikace: Dělí se podle toho, zda je čas a stavový prostor diskrétní (skoky) nebo spojitý (plynulý).
  • Diskrétní čas i hodnoty: Typickým zástupcem jsou Markovské řetězce.
  • Spojitý čas, diskrétní hodnoty: Typické pro teorii front (např. Poissonův proces příchodů).
  • Spojité obojí: Používá se pro modelování přírodních a fyzikálních jevů.
• Příklady sub-systémů:
  • Markovské řetězce: Systémy bez paměti, kde budoucnost závisí pouze na přítomnosti, nikoliv na historii.
  • Teorie front (Kendallova klasifikace): Modelování příchodů, čekání a obsluhy požadavků v systémech hromadné obsluhy. [[#|(more)]]

More

( P1, P2 )

• Základní pojmy stochastiky (lidsky vysvětlené od základu)
  • Náhodný pokus
    • Činnost s jasně danými podmínkami, jejíž výsledek nelze předem přesně určit, ale známe všechny možné výsledky.
    • (např: Hod klasickou kostkou – vím, že padne 1 až 6, ale nevím, co přesně to bude v tomto hodu.)
  • Náhodný jev
    • Konkrétní výsledek náhodného pokusu, o kterém po jeho skončení umíme jednoznačně říct, zda nastal nebo ne.
    • Má přiřazenou pravděpodobnost, s jakou se objevuje.
    • (např: Padlo sudé číslo při hodu kostkou.)
  • Náhodná veličina
    • Číselné vyjádření výsledku náhodného pokusu. Nabývá různých hodnot s určitou pravděpodobností.
    • (např: Konkrétní počet bodů na kostce nebo aktuální teplota venku.)
• Stochastický proces
  • Funkce dvou proměnných, kde jedna představuje čas ($t$) a druhá náhodu ($e$).
  • Popisuje systémy, u kterých nelze kvůli působení náhody přesně předpovědět jejich budoucí stav.
  • (např: Vývoj ceny akcií na burze, změny počasí v čase nebo počet lidí v supermarketu během dne.)
  • Realizace
    • Jeden konkrétní, historický průběh od začátku do konce, který už reálně nastal.
    • Jakmile se proces odžije v čase, stává se z něj nenáhodná (deterministická) funkce.
    • (např: Graf vývoje ceny Bitcoinu za včerejší den. Zpětně už je to jasná fixní čára, žádná náhoda.)
  • Průsek
    • Zastavení času v konkrétním bodě $t$. Funguje to jako statická „fotka“ procesu.
    • V daném okamžiku se proces chová jako obyčejná náhodná veličina s nějakým rozdělením pravděpodobnosti.
    • (např: Otázka: „Jaká bude cena akcií Apple přesně zítra ve 12:00?“ – v ten fixní moment je to náhodná veličina.)
  • 🖼️
    • 
  • 🖼️Klasifikace stochastických procesů
    • 
    • Diskrétní čas i stavy: Markovské řetězce s diskrétním časem.
      • (např: Desková hra Člověče, nezlob se – postupuje se po celých políčkách (diskrétní stav) v jednotlivých kolech/tazích (diskrétní čas).)
    • Spojitý čas, diskrétní stavy: Procesy teorie front.
      • (např: Počet lidí ve frontě na kávu – lidé přicházejí plynule v jakékoliv mikrosekundě (spojitý čas), ale počet lidí ve frontě je celé číslo (diskrétní stav).)
    • Spojitý čas i stavy: Spojité procesy.
      • (např: Neustálé plynulé kolísání okolní teploty nebo napětí v elektrické síti.)
• Bernoulliho pravděpodobnost
  • Binomické rozdělení. Opakované nezávislé pokusy, kde existuje pouze výsledek úspěch nebo neúspěch.
  • (např: Opakované házení mincí (panna/orel) nebo sledování zmetkovosti výrobků na běžícím páse.)
• Teorie front (Teorie hromadné obsluhy)
  • Matematické modelování systémů, kde požadavky (zákazníci, data) přicházejí k obslužnému místu (server, pokladna). Pokud je obsazeno, tvoří se fronta.
  • Kendallova klasifikace
    • Standardizovaný zápis typu fronty ve formátu A/B/X/Y/Z
    • A - Rozdělení intervalů mezi příchody zákazníků.
    • B - Rozdělení doby trvání samotné obsluhy.
      • Nejčastější typy rozdělení:
      • M - Markovské (Poissonův proces pro příchody, exponenciální pro obsluhu) – totální náhoda, proces „nemá paměť“.
      • D - Deterministické – konstantní čas. (např: Mycí linka nebo robot na lince balí krabici vždy přesně 30 sekund.)
      • N - Normální (Gaussovo) rozdělení.
      • G - Obecné (nespecifikované) rozdělení.
    • X - Počet paralelních obslužných kanálů.
      • (např: Kolik pokladen je v supermarketu otevřených vedle sebe a berou lidi z fronty.)
    • Y - Kapacita systému (maximální počet lidí ve frontě + v obsluze). Pokud je plno, další zákazník odchází a do systému nevstoupí.
    • Z - Frontový režim (disciplína odbavování fronty).
      • FIFO - First In, First Out. (např: Klasická fronta na poště – kdo dřív přijde, je dřív odbaven.)
      • LIFO - Last In, First Out. (např: Zásobník zbraně nebo vykládání kamionu z jedněch dveří – poslední naložená krabice jde ven jako první.)
      • SIRO - Service In Random Order – náhodný výběr. (např: Učitel náhodně vyvolává studenty z davu k ústní zkoušce.)
    • Příklad z výuky: M/M/1 (Poissonův příchod, exponenciální obslužnost, 1 pokladna, nekonečná kapacita, FIFO)
      • Orderliness (obyčejnost) - V jeden absolutně krátký okamžik může přijít maximálně jeden zákazník. (Nenastane situace, že dva lidé projdou dveřmi ve stejnou mikrosekundu).
      • Stationarity (stacionarita) - Pravděpodobnost příchodu zákazníka závisí pouze na délce časového intervalu, v modelu se v průběhu času nemění intenzita.
      • Independence (nezávislost) - To, že přišel jeden zákazník, nijak neovlivní to, zda a kdy přijde někdo další.
    • Intenzita provozu ($\rho$)
      • Poměr mezi rychlostí příchodů a rychlostí obsluhy.
      • Ideální stav = <0,6 ; 0,8> (systém je optimálně vytížený, ale stabilní)
      • Hodnota 1 a více = Stabilní selhání systému. Fronta roste do nekonečna, protože obsluha dlouhodobě nestíhá odbavovat.
      • Hodnota 0 = Systém totálně zahálí, nikdo nechodí, obsluha nic nedělá.
• Markovské řetězce - Stochastické procesy, u kterých jsou čas i stavový prostor diskrétní.
  • Markovská vlastnost (Bezpaměťovost)
    • Pravděpodobnost následujícího stavu závisí výhradně na stavu současném, nikoliv na historii (je jedno, jak jsme se do současného stavu dostali).
    • (např: Opilcova procházka – opilec udělá krok vpřed nebo vzad jen podle toho, na které lampě zrovna visí, nepamatuje si svou trasu z hospody. Nebo předpověď počasí: zítřejší stav závisí jen na tom, jak je dnes.)
  • Matice přechodů P
    • Čtvercová matice obsahující podmíněné pravděpodobnosti přechodu ze stavu $i$ do stavu $j$.
    • Součet pravděpodobností v každém řádku musí být přesně roven 1 (ze systému se nelze vypařit, někam přejít musíme, byť zůstat ve stejném stavu).
    • Homogenní řetězec = Matice $P$ se v průběhu času nemění, pravděpodobnosti přechodu jsou konstantní.
  • Vektor pravděpodobností
    • Absolutní pravděpodobnosti
      • Udává pravděpodobnost výskytu v jednotlivých stavech v konkrétním kroku (nejčastěji počáteční stav $p(0)$, kde má výchozí stav hodnotu 1 a ostatní 0).
    • Limitní pravděpodobnosti ($\pi$)
      • Stav stabilizované rovnováhy. Po mnoha krocích (v limitě pro čas do nekonečna) přestane záležet na počátečním stavu a pravděpodobnosti se ustálí na fixních hodnotách. Součet složek je roven 1.
      • (např: Dlouhodobé ustálení podílu zákazníků na trhu mezi mobilními operátory. Je jedno, kde zákazník před 5 lety začínal, fluktuace se časem vyrovná do stabilního poměru.)
  • Typy stavů
    • Rekurentní (Návratný)
      • Stav, u kterého je stoprocentní jistota, že se do něj proces v budoucnu dříve či později opět vrátí.
    • Přechodný (Tranzitní)
      • Stav, u kterého existuje nenulová pravděpodobnost, že po jeho opuštění už se do něj proces nikdy nevrátí.
    • Absorporční (Absorbující)
      • Stav, který jakmile proces jednou navštíví, už ho nemůže opustit (pravděpodobnost setrvání $p_{ii}=1$).
    • Fundamentální matice
      • Používá se u absorpčních řetězců. Vyjadřuje průměrný počet kroků/návštěv, které proces stráví v přechodných stavech než definitivně propadne do stavu absorpčního.
      • (např: Modelování studia na vysoké škole – stavy jednotlivých ročníků jsou přechodné, stavy „úspěšné státnice“ a „vyhození ze školy“ jsou absorpční. Fundamentální matice spočítá, kolik let průměrně student stráví v systému školy, než nastane jeden z těch dvou konců.)