CZU_4_STAT - zk_notes_prezentace

up:: STAT > ZK

( overview )

🎥přednášky

---

Pravděpodobnost

TLDR

1 - Pravděpodobnost

• sčítání
• Bayesův vzorec

2 - Náhodné veličiny

• Náhodná veličina
  • diskrétní (nespojité) – nabývají od sebe vzájemně oddělené hodnoty
    • např: hod kostkou, počet vadných výrobků
  • spojité – mohou nabývat všech hodnot
    • Je omezena pouze přesností našeho měřidla
    • např: Výška člověka, doba, teplota
• Funkce
  • Pravděpodobnostní funkce ⇒ diskrétní
  • Hustota pravděpodobnosti ⇒ spojité
  • Distribuční funkce ⇒ obě
• Číselné charakteristiky náhodných veličin
  • polohy – měří střední úroveň náhodné veličiny,
    • např: Medián, Modus
  • variability – měří měnlivost (rozptýlenost) hodnot náhodné veličiny,
    • Rozptyl D(X)
    • Směrodatná odchylka
      • měří variabilitu náhodné veličiny v původních měrných jednotkách.
    • Variační koeficient
      • používá se pro porovnání variability náhodných veličin lišících se měrnou jednotkou
  • šikmosti – hodnotí soustředění hodnot náhodné veličiny kolem středu (symetrie – asymetrie).
    • a3 = 0 → symetrická rozdělení
    • a3 > 0 → pozitivní symetrie
    • a3 < 0 → negativní symetrie
    • µ3 – třetí centrální moment

3 - Modely náhodných veličin

Modely

• Rozdělení diskrétních náhodných veličin
  • Alternativní rozdělení - $A(p)$
    • nabývat pouze dvou hodnot: jedna s pravděpodobností $p$ a nuly s pravděpodobností $q=1–p$.
    • Příklad: Hod mincí (padne panna = 1, padne orel = 0) nebo kontrola kvality jednoho výrobku (vadný = 1, bez vady = 0).
  • Binomické rozdělení - $Bi(n;p)$
    • $n$-krát opakovat, pravděpodobnost stejná a rovna $p$.
    • Příklad: Počet padnutých šestek při 10 nezávislých hodech standardní hrací kostkou.
  • Poissonovo rozdělení - $Po(\lambda )$
    • modeluje počet výskytů události v daném časovém úseku nebo prostoru.
    • Příklad: Počet zákazníků, kteří vejdou do obchodu během jedné hodiny, nebo počet překlepů na jedné stránce textu.
  • Hypergeometrické rozdělení - $H(N,M,n)$
    • modeluje výběr bez vracení (pravděpodobnost se s každým tahem mění).
    • Příklad: Tažení 6 výherních čísel z celkových 49 ve Sportce nebo výběr 5 součástek z krabice, kde je 20 dobrých a 5 vadných.
• Rozdělení spojitých náhodných veličin
  • Rovnoměrné rozdělení - $R(a,b)$
    • všechny hodnoty v daném intervalu mají stejnou hustotu pravděpodobnosti.
    • Příklad: Doba čekání na autobus, který jezdí v přesných 15minutových intervalech, pokud cestující přijde na zastávku zcela náhodně (čeká 0 až 15 minut).
  • Exponenciální rozdělení - $E(\lambda )$
    • modeluje dobu čekání do výskytu první události.
    • Příklad: Doba životnosti elektronické součástky (např. žárovky) do jejího prasknutí nebo časový rozestup mezi dvěma příchozími hovory na ústřednu.
  • Normální (Gaussovo) rozdělení - $N(\mu ,{\sigma }^2)$
    • popisuje veličiny, které jsou ovlivněny velkým množstvím drobných, nezávislých náhodných vlivů.
    • Příklad: Výška dospělých osob v určité populaci, nebo chyby při opakovaném přesném laboratorním měření.

4 - Limitní věty

• Centrální limitní věty

• Zákon velkých čísel

  • Čebyševova nerovnost
    • I. typu
    • II. typu

• Věty

  • Čebyševova věta
  • Bernoulliho věta
  • Centrální limitní věty
  • Moivreova – Laplaceova věta
  • Lindebergova – Lévyova věta

• Centrální limitní věty

  • popisují, že součet nebo průměr velkého počtu nezávislých náhodných veličin se blíží normálnímu rozdělení.
  • Příklad: Součet zaokrouhlovacích chyb u 10 000 účetních položek se bude chovat podle normálního rozdělení, i když jednotlivé chyby mají rovnoměrné rozdělení.

• Zákon velkých čísel

  • tvrdí, že s rostoucím počtem pokusů se empirické průměry (nebo relativní četnosti) blíží teoretickým středním hodnotám (pravděpodobnostem).
  • Příklad: Pokud hodíte mincí 10krát, může padnout 8 panen (80 %). Pokud s ní hodíte 1 000 000krát, podíl panen bude téměř přesně 50 %.
  • Čebyševova nerovnost 
    • I. typu (často nazývaná Markovova nerovnost)
      • odhaduje shora pravděpodobnost, že nezáporná náhodná veličina překročí určitou kladnou hodnotu.
      • Příklad: Odhad maximální pravděpodobnosti, že náhodně vybraný občan má plat vyšší než pětinásobek průměrného platu v zemi (aniž bychom znali přesné rozdělení platů).
    • II. typu (samotná Čebyševova nerovnost)
      • odhaduje pravděpodobnost, že se náhodná veličina odchýlí od své střední hodnoty o více než násobek směrodatné odchylky.
      • Příklad: Zajištění, že pravděpodobnost, aby se zisk firmy lišil od očekávaného průměru o více než tři směrodatné odchylky, je menší než 1/9 (cca 11 %).

• Věty

  • Čebyševova věta
    • je jednou z formulací slabého zákona velkých čísel pro nezávislé veličiny s omezeným rozptylem.
    • Příklad: Průměrný výnos pšenice z hektaru napříč stovkami různých farem se bude s velkou pravděpodobností velmi blížit teoretickému očekávanému průměru celého státu.
  • Bernoulliho věta
    • speciální případ zákona velkých čísel pro binomické rozdělení.
    • Příklad: Pojišťovna na základě dlouhodobých statistik ví, že pravděpodobnost pojistné události je 2 %. Při pojištění 50 000 klientů si může být téměř jistá, že podíl klientů uplatňujících škodu se bude velmi blížit právě 2 %.
  • Centrální limitní věty
    • obecná skupina vět o konvergenci k normálnímu rozdělení.
    • Příklad: Výpočet průměrné doby strávené na e-shopu na vzorku 5 000 uživatelů – rozdělení tohoto výběrového průměru bude zvonovité (normální), ať už je chování jednotlivců jakékoliv.
  • Moivreova – Laplaceova věta
    • aproximuje binomické rozdělení pomocí normálního rozdělení (pro velká n).
    • Příklad: Rychlý výpočet pravděpodobnosti, že ze 100 000 vyrobených kusů výrobků, kde je šance na vadu 5 %, bude vadných přesně mezi 4900 a 5100 kusy (místo složitého sčítání desetitisíců binomických pravděpodobností).
  • Lindebergova – Lévyova věta
    • nejznámější verze centrální limitní věty pro nezávislé a stejně rozdělené náhodné veličiny (i.i.d.).
    • Příklad: Celková denní tržba v hypermarketu se skládá z nákupů tisíců nezávislých zákazníků. Proto bude mít celková tržba přibližně normální rozdělení (Gaussovu křivku), i když útraty jednotlivců normální rozdělení nemají.

Popisná statistika

TLDR

5 - Statistické zjišťovaní

Znaky

• Etapy: 1.zjišťování, 2.zpracování, 3.vyhodnocování
• Třídění: prosté, Intervalové

5 - Statistické zjišťování

• Zjišťování
  • úplné
    • prošetřují se veškeré jednotky souboru
    • + přesné
    • - extrémně nákladné
  • výběrové
    • + levné
    • - chybou odhadu
• Výběrové techniky
  • Základní
    • Anketa
    • Metoda základního masivu
    • Záměrný výběr
    • Náhodný nebo pravděpodobnostní výběr
• Typy Náhodného výběru
  • 1. jednotky mohu mít stejné nebo různé pravděpodobnosti vybrání
    • Prostý náhodný výběr (se stejnými pravděpodobnostmi)
    • Výběr s nestejnými pravděpodobnostmi
  • 2. zohledňuje se vracení nebo nevracení vybraných jednotekdo ZS po jejich prošetřen
    • Výběr s vracením (s opakováním)
    • Výběr bez vracení (bez opakování)
• Náhodného výběru
  • (Opora výběru)
  • Losování
  • Tabulky náhodných čísel
  • Systematický výběr (mechanický)
  • special
    • Oblastní výběr
    • Vícestupňový výběr
    • oblastní dvoustupňový výběr
    • Výběr skupinový

6 - Statistické charakteristiky

• charakteristiky: polohy, variability, šikmosti, špičatosti
  • polohy (střední hodnoty)
    • formy:
      • prosté – není provedeno třídění,
      • vážené – bylo provedeno třídění
    • průměry - ze všech hodnot souboru
      • aritmetický – nejčastější
      • geometrický – časové řady, indexní analýza
      • harmonický – indexní analýza
      • chronologický – časové řady
    • ostatní - vybraných hodnot
      • Medián - prostřední hodnota
      • Modus - nejčetnější hodnota
    • Co použít?
      • Aritmetický průměr
        •  jestliže data jsou získána minimálně v intervalovém měřítku (tzn. používá se pro číselné údaje),  jestliže je rozdělení symetrické,  jestliže chceme použít statistické testy.
      • Medián
        • jestliže data jsou získána minimálně v ordinálním měřítku (pořadové znaky),  jestliže chceme znát střed rozdělení dat,  jestliže data mohou obsahovat odlehlé hodnoty,  jestliže rozdělení dat je silně zešikmené.
      • Modus
        • jestliže rozdělení má více vrcholů,  jestliže chceme získat o rozdělení jenom základnípřehled,  jestliže se slovem „průměrně“ míní nejčastějšíhodnota,  nalézá uplatnění především u kategoriálních dat.
      • ( V případě, že data jsou symetricky rozdělená, všechnyuvedené charakteristiky jsou přibližně stejné. )
        • 
  • variability (rozptýlenosti)
    • určuje rozmezí, v němž se výběrové údaje vyskytují
      • jak moc je a-průměr vypovídající menší/větší
    • Míry (charakteristiky) variability
      • Absolutní - (kg, l, …)
        • prosté(bez)/vážené(s) - provedeno třídění
        • Variační rozpětí: R = xmax – xmin
        • Průměrná absolutní odchylka: -průmer
        • Rozptyl:
        • Směrodatná odchylka:
      • Relativní - (lišící jednotky)
        • Relativní průměrná odchylka
        • Variační koeficient
• Kvantilové charakteristiky ?
  • pojmy
    • Kvantily – hodnoty, které dělí uspořádaný statistický soubor na určitý počet stejně obsazených částí
    • Kvartily – dělí uspořádaný soubor na čtyři stejně obsazené části.
    • Decily – dělí uspořádaný soubor na deset stejně obsazených částí
    • Percentily – dělí soubor na sto stejně obsazených částí
  • Kvantilové rozpětí - rozdíl mezi nejvyšším a nejnižším kvantilem
  • Kvartilové rozpětí - diference horního a dolního kvartilu
• Míry šikmosti
  • představují stupeň koncentrace hodnot znaku kolem charakteristiky úrovně
  • img
    • 

Statistická indukce

TLDR

7 - Bodové odhady

• charakteristiky
  • ZS (populační) - z všech jednotkách ZS
  • výběrové - z výběrového souboru
• Metody odhadování parametrů
  • Bodový odhad - odhad 1x čísla ZS z výberu
  • Intervalový odhad - máme interval

Značení

• Bodový odhad
  • Funkce se nazývají statistiky
  • vlastnostni:
    • nestranná
    • konzistentní
    • vydatná
    • postačující
  • Výběrová chyba
  • x
    • Bodový odhad průměru ZS
    • Bodový odhad relativní četnosti ZS
    • Bodový odhad rozptylu ZS
    • Bodový odhad směrodatné odchylky ZS

8 - Intervalové odhady

• Pojmy
  • Interval spolehlivosti
    • neznámou hodnotu parametru odhadneme tak, že uvedeme interval, který s předem danoupravděpodobností obsahuje danou hodnotu parametru ZS
  • Spolehlivost odhadu
    • je pravděpodobnost, s jakou secharakteristika ZS bude nacházet v intervalu vymezenémpříslušnou výběrovou charakteristikou a maximální chybou
  • Přesnost odhadu
    • maximální chyba, které se při odhadu sdanou spolehlivostí dopustíme
  • ( mezi přesností a spolehlivostí odhadu při daném rozsahu výběru existuje nepřímá úměrnost )
    • čím je rozsah výběru n větší, tím je interval spolehlivosti užší
    • čím je odhad přesnější a má menší rozptyl, tím jeinterval spolehlivosti užší
    • čím je vyšší statistická jistota (1 – ), tím je intervalspolehlivosti širší
• Typy
  • interval dvoustranný (oboustranný) - P(T1 ≤ 0 ≤ T2 ) = 1 – α
  • jednostranných interval - P(0<T2)=1–α →|← P(0>T2)=1–α
• x
  • Intervalový odhad průměru ZS
  • Není znám rozptyl ZS – použijeme hodnotu s2
  • Kdy se používají hodnoty u_α a kdy t_α?
    • Kritické hodnoty normálního rozdělení u_α
      • známe rozptyl ZS o2
      • známe výběrový rozptyl s2 a rozsah výběrového souboru je velký (n > 100)
    • Kritické hodnoty Studentova t-rozdělení o (n-1) stupni volnosti
      • jde o výběr z normálního rozdělení a známepouze rozptyl výběrový s2
      • rozsah výběrového souboru je malý (n < 100)
      • soubor se řídí asymetrickým normálním rozdělením
  • Stanovení rozsahu souboru
    • Potřebná velikost na int odhad průměru s presností
  • Určení spolehlivosti odhadu
  • Výběr bez vracení – výpočet přípustné chyby
  • Stanovení rozsahu výběru
  • Výpočet spolehlivosti při určité požadované šířce intervalu spolehlivosti
  • Intervalový odhad rozptylu ZS
  • Intervalový odhad parametru p alternativního rozdělení (intervalový odhad relativní četnosti ZS)

9 - Testování statistických hypotéz

Diagram

• Statistická hypotéza
  • každé tvrzení o tvaru nebo charakteristikách rozděleníjednoho či několika statistických znaků
  • Testování hypotéz
  • Nulová hypotéza (testovaná hypotéza) $H_0$
    • předpoklad
  • Alternativní hypotéza $H_1$
    • popírá platnost nulové hypotézy
• Test
  • postup zda hypotéza platí
  • typy
    • parametrické
    • neparametrické - neznáme typ ani parametryrozdělení ZS
  • typy podle výběrů
    • jednovýběrové – jeden výběrový soubor
    • dvouvýběrové – dva výběrové soubory
    • vícevýběrové – více jak dva výběrové soubory.
  • typy podle alternativní hypotézy
    • testy oboustranné H1 :   0
    • testy jednostranné: pravo/levo
• Testové (testovací) kritérium (testovací statistika)
  • T lze chápat i jako míru nesouhlasu výsledkůpokusu s testovanou hypotézou
  • obor T množiny
    • Kritický obor K - H0 málo pravděpodobný
    • Obor přijetí R - nejsou v rozporu s H0
    • kritické hodnoty - hodnoty které oddělují tyto obory
• Základní princip testování statistických hypotéz je možno zformulovat takto:
  • Padne-li vypočtená hodnota testovacího kritéria T dokritického oboru K, zamítáme H0 a přijímámealternativní hypotézu (TK / H0 ).
  • Padne-li vypočtená hodnota testovacího kritéria T dooboru přijetí, nebyla H0 vyvrácena (H0 nezamítáme).Potom platí TK / H0 .
• Chyby při testování
  • I. druhu - hladina významnosti α (zamítnutí i když je správná)
  • II. druhu - síla testu (přijeté nesprávné)
• Postup
  1. formulace hypotéz
  2. volba hladiny významnosti 
  3. volba testu
  4. výpočet hodnoty testového kritéria
  5. určení kritického oboru
  6. formulace výsledku testu a závěru
• Příklady -
  • Parametrické testy - Jednovýběrové testy
  • Test hypotézy o rozptylu normálního rozdělení
  • Test hypotézy o průměru normálního rozdělení
    • Test při známém rozptylu ZS + neznámém
  • Test hypotézy o parametru p alternativního rozdělení

9 - priklady jednovyberove testy

• příklady

10 - Dvouvyberove testy

Tabulky

• Test významnosti rozdílu dvou výběrových rozptylů (F-test)
• Test významnosti rozdílu dvou výběrových průměrů (t-test)
  • t-test při známých rozptylech
  • t-test při neznámých rozptylech
  • (Tzn. před každým t-testem se provádí F-test)
• příklady
  • Test hypotézy H0: 1 = 2 při stejných rozptylech (dvouvýběrový t-test)
  • Test hypotézy H0: 1 = 2 při nestejných rozptylech (Welchův t-test)
    • Behrens-Fisherův test
• t-test pro párové hodnoty (párový t-test)
• Test významnosti rozdílu dvou výběrových relativních četností

11 - Neparametrické testy (ostatní)

• vlastnosti
  • +
    • nezávislost na tvaru rozdělení,
    • použitelnost pro studium jak znaků kvantitativních, tak kvalitativních
    • po výpočetní stránce jsou mnohem jednodušší a rychlejší
  • - menší síla
• typy
  • pořadové testy
• Testy dobré shody
  • pochází z určitého předpokládanéhorozdělení
  • typy
    • Pearsonův  2 – test dobré shody
    • Kolmogorov – Smirnovův test,
    • Davidův test normality,
    • Shapirův – Wilkův test

Regrese a Korelace

TLDR

12 - Analýza závislostí kvantitativních znaků

• Závislost
  • příčinná (kauzální)
    • Jeden jev (příčina) vyvolává existenci (vznik, změnu, zánikapod.) jevu druhého. Jeden jev (příčina) podmiňuje jev jiný(účinek, následek).
  • pevná
    • výskytu jednoho jevu nutně odpovídávýskyt druhého jevu (a naopak). Z pravděpodobnostníhohlediska jde o vztah, který se projeví s pravděpodobnostírovnou jedné.
  • Volná
    • jeden jev podmiňuje jev jiný jen surčitou pravděpodobností a v různé intenzitě. Určitéhodnotě jedné veličiny odpovídá celá řada různých hodnotdruhé veličiny
  • statistická
    • volná závislost kvantitativních statistických znaků
• Regrese
  • charakterizuje průběh závislosti a změny závisleproměnného znaku na základě změn jedné či více nezávisleproměnných (matematické funkce).
• Korelace
  • měří těsnost korelační závislosti příslušnými mírami
• Druhy závislostí podle
  • počtu kvantitativních znaků → jednoduchá/vícenásobná
  • typu regresní funkce → (ne)lineární
  • směru změn kvantitativních znaků → pozitivní/negativní (záporná, nepřímá)
• lineární regresní model
  • y` = a + b ∙ x
  • parametry → metoda nejmenších čtverců
    • param=regresní koeficienty
  • závislost
    • Jednostranná
      • proměnná X je nezávisle proměnnáa Y pak závisle proměnná.
    • Oboustranná (družené regresnípřímky)
      • nelze přesně rozhodnout, kteráproměnná je závislá a která nezávislá
• Odhady v regresní analýze
  • Interpolace – předmětem zájmu je některá z použitýchkombinací vysvětlujících proměnných
  • Extrapolace – pozornost je upřena na hodnotu proměnné Ypro předpokládanou budoucí hodnotu proměnné X
  • odlišit
    • odhad průměrné hodnoty
      • yi – k odhadu bude použitregresní koeficient, který udává, o kolik se změníproměnná Y, když se proměnná X změní o jednotku
    • odhad konkrétní hodnoty
      • y´i – k odhadu se použijecelá regresní funkce

13 - Korelační analýza

( míru stupně závislosti dvou proměnných )

• Pearsonův korelační koeficient
  • vlastnosti
    1. –1≤ r ≤+1
    2. Jestliže |r| = 1, leží všechny body na nějaké přímce(lineární funkční závislost)
    3. Jestliže r = 0, X a Y jsou nekorelované proměnné
    4. Koeficient vyjadřuje pouze sílu lineárního vztahu
    5. Korelační koeficient r nerozlišuje mezi závisle a nezávisle proměnnou $(r_{yx}=r_{xy})$.
• Těsnost závislosti

  •      r < 0,4   těsnost nízká *(slabá)*
    

  • 0,4 ≤ r < 0,7 těsnost středně silná
  • 0,7 ≤ r < 0,9 těsnost vysoká (silná)
  • 0,9 ≤ r ≤ 1,0 těsnost velmi vysoká
• Koeficient determinace $r^2$
  • ( Druhou mocninou koeficientu korelace )
• Spearmanův korelační koeficient pořadí $r_s$
  • Kdy?
    • Používá se u méně rozsáhlých souborů nebo v případě,že chceme získat rychlou představu o intenzitě závislosti.
• Formální korelace
• korelací způsobených společnou příčinou
• Zdánlivé korelace
  • matoucí (rušivé) proměnné

13 - Testy regrese a korelace

• Test významnosti korelačního koeficientu
• Test významnosti regresního koeficientu
• Intervalový odhad regresního koeficientu
• Bodový odhad korelačního koeficientu
• Intervalový odhad korelačního koeficientu
  • (n < 100) se využívá Fisherovytransformace